ما هي الاعداد النسبيه؟

الأعداد النسبية تتألف من كل رقم يمكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين، حيث يكون العدد في المرتبة العليا (البسط) والآخر في المرتبة السفلى (المقام)، مع ضرورة أن يكون المقام مختلفاً عن الصفر. هذه الأعداد جزء أساسي من الأرقام التي نقابلها ونستعملها يوميًا.

تمتلك الأعداد النسبية خصائص مماثلة للأعداد الحقيقية. وتصنف إلى نوعين بناءً على الإشارة: إذا كان كلاً من البسط والمقام يحملان الإشارة نفسها، سواء كانت موجبة أم سالبة، فإن النتيجة تكون عددًا نسبيًا موجبًا. أما إذا كانت الإشارات متعاكسة بين البسط والمقام، فإن العدد النسبي يكون سالبًا.

أمثلة على الأعداد النسبية

في يومياتنا، نصادف الكثير من الحالات التي تظهر فيها الأعداد النسبية. على سبيل المثال، عندما نقيس مُحتوى السكر في وجبة غذائية أو نحسب نسبة الفائدة على قرض ما، فإننا نستخدم الأعداد النسبية.

حتى في العمليات البنكية اليومية كتحويل العملات وتقييم الخصومات والتخفيضات، تلعب الأعداد النسبية دورًا أساسيًا.

الأعداد الصحيحة

تتضمن الأعداد النسبية جميع الأعداد الصحيحة، إذ يمكن تحويلها إلى كسور بسيطة. فلو أخذنا أي عدد صحيح موجب، كالعدد خمسة مثلاً، فإنه يُصاغ كسرًا بوضعه في البسط واستخدام الرقم واحد في المقام، أي \( \frac{5}{1} \).

بالمثل، الأعداد الصحيحة السالبة، كالعدد تسعة سالب، يُعبر عنها بالصيغة \( \frac{-9}{1} \). ولا نستثني العدد صفر، حيث يمكن كتابته نسبيًا بالشكل \( \frac{0}{1} \).

الأعداد الكسرية

الأعداد الكسرية تندرج تحت فئة الأعداد النسبية لأنها تُعبّر عنها بصورة كسر تقليدية يتكون من البسط والمقام، حيث يكون المقام غير صفري وكل من البسط والمقام يجب أن يكونا أعداداً صحيحة.

على سبيل المثال، الكسر \( \frac{7}{22} \) يتوافق مع هذه المعايير حيث أن البسط هو 7 والمقام 22 وكلاهما أعداد صحيحة والمقام ليس بصفر.

أيضا، الكسر الذي يمثله العدد العشري 3.125 يمكن تحويله إلى الصيغة الكسرية \( \frac{25}{8} \), إذ تظهر هذه التحويلات الرياضية كيفية تلبية هذه الأعداد لمتطلبات تعريف الأعداد النسبية.

الكسور العشرية

بعض الكسور العشرية يمكن تصنيفها كأعداد نسبية عندما تكون قابلة للكتابة بشكل كسر بسيط. تتميز الكسور العشرية النسبية بقابليتها للتحويل إلى كسر يتألف من بسط ومقام، حيث أن المقام لا يكون صفراً.

مثال على ذلك العدد العشري 1.8، الذي يمكن تحويله إلى كسر بجعله بسطاً ووضع الرقم 1 في المقام. عبر ضرب كلا من البسط والمقام في 10 نحصل على الكسر 18/10، وهذا يجعله كسراً صحيحاً يستوفي الشروط ليكون عدداً نسبياً.

أما بالنسبة للكسور العشرية المتكررة مثل 3.3333، فهي أيضاً تعتبر من الأعداد النسبية. يمكن التعبير عنها في شكل كسر بسطه 3 ومقامه 1/3. تحقق هذه الطريقة في الكتابة معايير الأعداد النسبية؛ حيث أن الكسر الناتج صحيح والمقام ليس بالصفر.

كيفية عمل العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

في الرياضيات، العمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة تتطلب خطوات محددة للوصول إلى النتائج الصحيحة. لتحقيق التوازن بين الأعداد الكسرية، من الضروري تعديل المقامات بطرق مختلفة.

في الجمع والطرح، نقوم بضرب كل من البسط والمقام لأحد الكسور بعدد يساوي المقام في الكسر الآخر للوصول إلى مقام موحد. مثال على ذلك، لجمع 1/3 مع 2/6، يمكن مضاعفة المقام والبسط للكسر الأول بالعدد 2، ليصبح 2/6، ومن ثم جمع النتيجة مع 2/6 ليؤول الجمع إلى 4/6، وهو ما يُبسط إلى 2/3.

أما بالنسبة للضرب والقسمة، فإن الخطوات تكون أبسط بكثير. لضرب كسرين، نضرب بسط الكسر الأول ببسط الكسر الثاني، ومقام الأول بمقام الثاني.

على سبيل المثال، ضرب 1/3 في 2/6 يؤدي إلى حاصل ضرب البسط 1 مع 2 والمقام 3 مع 6، لينتهي بنا الحال بكسر 2/18، الذي يُبسط بعد ذلك إلى 1/9. هكذا نضمن التعامل السليم مع الأعداد الكسرية في العمليات الحسابية المختلفة.

خصائص الأعداد النسبية

تظل قيمة الأعداد النسبية ثابتة عند ضرب أو قسمة كل من البسط والمقام بنفس العدد الصحيح غير الصفري. على سبيل المثال، إذا ضربنا البسط والمقام في العدد 2/5 بثلاثة، نحصل على 6/15، وبتبسيط هذا الكسر نعود إلى صورة 2/5 الأصلية.
وكذلك الأمر عند القسمة، حيث إن قسمت العدد 6/15 على ثلاثة، أعادني ذلك إلى العدد 2/5.

تبقى النتائج نسبية دائمًا عند عمليات الضرب، الجمع أو الطرح بين أعداد نسبية. على سبيل المثال، عند جمع عددين نسبيين بنفس المقام، يتم جمع البسطين والإبقاء على المقام كما هو. أما عند ضربهما، فيكون الناتج بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

للعدد النسبي صورة معيارية عندما يكون العدد الصحيح الوحيد المشترك بين البسط والمقام هو واحد. أما مربع الجذر التربيعي لأي عدد، فهو دائمًا عدد نسبي يساوي العدد الأصلي داخل الجذر.
من جهة أخرى، عند ضرب الجذور غير النسبية، قد ينتج عنها أحيانًا أعداد نسبية، فمثلًا الجذر التربيعي للعدد 2 مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 8 يعطي الجذر التربيعي للعدد 16، الذي يساوي 2.

لا يمكن لعملية جمع أو طرح أعداد غير نسبية أن تؤدي إلى ناتج نسبي إلا في حالات خاصة مثل جمع الأعداد المتعاكسة التي تُلغي بعضها البعض، ومثال ذلك جمع π مع -π مما يؤدي إلى نتيجة صفر، وهو كذلك عدد نسبي.