تعريف المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي هو أحد مقاييس النزعة المركزية، ويُستخدم لحساب متوسط مجموعة من القيم. يقوم هذا المقياس على جمع كل القيم الموجودة في المجموعة ثم يقسم الناتج على عدد هذه القيم. يُستخدم رمز (x̄) أو (س) مع خط فوقه للدلالة على المتوسط الحسابي.

يوجد نوعان من المتوسط الحسابي، وهما: المتوسط العادي الذي يتم حسابه بطريقة مباشرة عبر تقسيم مجموع القيم على عددها، والمتوسط المرجح الذي يأخذ في حسابه وزناً معيناً لكل قيمة حسب أهميتها.

خصائص المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي له خصائص عدة تساهم في فهم توزيع البيانات. إحدى هذه الخصائص تشير إلى أن مجموع الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي يساوي دائماً صفراً. أما عند النظر إلى مجموع مربعات هذه الفروق، فإنه يكون أقل ما يمكن عند حسابه من المتوسط الحسابي مقارنةً بأية نقطة أخرى.

كما يظهر أهمية المتوسط الحسابي عند استبدال كافة القيم في مجموعة بقيمة المتوسط، حيث أن المجموع النهائي لهذه القيم المستبدلة يبقى مطابقاً لمجموع القيم الأصلية للمجموعة. هذا يبرز الدور الذي يلعبه المتوسط الحسابي في تمثيل مركزي للبيانات.

كيف تحسب المتوسط الحسابي؟

المتوسط الحسابي يحسب بقسمة مجموع القيم على عدد هذه القيم. لتوضيح ذلك بمثال عملي، إذا احتوت مجموعة بيانات ما على خمس قيم، فإننا نجمع هذه القيم الخمس ثم نقسم الناتج على خمسة للحصول على المتوسط الحسابي لها. هذا الحساب يعطينا قيمة تعبر عن المستوى العام لمجموعة البيانات.

حساب المتوسط الحسابي في الجداول التكرارية

لنفترض أن لدينا عدداً من البيانات يشمل تكرار بعض القيم. يمكننا تنظيم هذه البيانات فيما يعرف بالجدول التكراري، حيث نقسم البيانات إلى فئات، ونوضح بجانب كل فئة عدد مرات تكرار كل قيمة. لحساب المتوسط الحسابي لهذه الفئات، نتبع الخطوات التالية:

أولاً، نحدد قيمة مركز كل فئة، وهي تُحسب بجمع الحد الأدنى للفئة والحد الأعلى ثم نقسم الناتج على اثنين.
مركز الفئة (م)= (الحد الأعلى للفئة + الحد الأدنى للفئة)/ 2.
ثانياً، نضرب قيمة مركز كل فئة في عدد تكراراتها.
ثالثاً، نجمع النواتج التي حصلنا عليها من الضرب في الخطوة السابقة.
رابعاً، نجمع عدد التكرارات لجميع الفئات.
خامساً، نحسب المتوسط الحسابي عن طريق قسمة مجموع نواتج الضرب على مجموع التكرارات الكلي.

يُعبر عن هذه العملية رياضياً بالصيغة التالية: المتوسط الحسابي يساوي مجموع حاصل ضرب قيمة مركز كل فئة في تكرارها، مقسوماً على العدد الإجمالي للتكرارات.

م = (س × ت)∑ / ن.

حيث إنّ:

م: المتوسّط الحسابي.

س: مركز الفئة.

ت: تكرار كل مركز فئة.

ن: مجموع التكرارات.
بتطبيق هذه الطريقة، نحصل على متوسط يُمثل البيانات بشكل يأخذ في الاعتبار تكرار كل قيمة، مما يوفر فهماً دقيقاً للتوزيع العام للبيانات ضمن الفئات المختلفة.