إذا كان حاصل ضرب ميلي مستقيمين يساوي 1 فإن المستقيمين
الأجابة هي: متعامدان.
هل تحاول معرفة كيفية تحديد ما إذا كان الخطان متوازيان؟ إذا كان الأمر كذلك، فإن منشور المدونة هذا يناسبك! سنستكشف مفهوم حاصل ضرب المنحدرات التي تساوي 1 وكيف يشير ذلك إلى أن الخطين لهما ميل بينهما. من هناك، سنناقش لماذا يعني هذا أن الخطين متوازيان. قراءة في لمزيد من المعلومات!
مقدمة في الخطوط العمودية
إذا كان ميل الخطين معاكسًا لبعضهما البعض، فلن يكون الخطان متعامدين. في الحالة الخاصة عندما يكون ميل خط واحد هو صفر، يكون حاصل ضرب المنحدرات هو -1. هذا يعني أن الخطين في خط مستقيم ويمكن وصفهما بمعادلة مثل ax ب c = 0. بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون خطان متعامدين ولا يكون أي منهما موازيًا للمحور، يكون ميل أحدهما هو مجموع المنحدرات من جهة أخرى. تعتبر الخطوط العمودية حالة خاصة لهذه القاعدة، حيث يكون ميل الخط دائمًا مساويًا للجزء المقطوع من المحور y.
نظرية 106: إذا كان ميل خطين متعاكسين مع بعضهما البعض، فإن الخطين يكونان غير عموديين
إذا كان ميل الخطين معاكسًا لبعضهما البعض، فلن يكون الخطان متعامدين. بمعنى آخر، لا يمكن رسم الخطين بحيث تكون منحدراتهما واحدة. يُعرّف ميل الخط بأنه التغيير في الإحداثي y مقسومًا على التغيير في الإحداثي x. عندما يكون ميل أحد الخطين سالبًا، يجب أن يكون ميل الخط الآخر أيضًا سالبًا حتى تكون الخطوط متعامدة. يمكن تطبيق هذه القاعدة على أي زوج من الخطوط، عموديًا أو غير ذلك، ويمكن استخدامها لتحديد ما إذا كان الخطان متقاطعين أم لا.
فهم ناتج المنحدرات
حاصل ضرب المنحدرات هو مصطلح رياضي يصف نتيجة ضرب سطرين في المستوى. إذا كانت منحدرات الخطوط معاكسة لبعضها البعض، فإن الخطوط ليست متعامدة. في الحالة التي يكون فيها ميل خط واحد صفرًا، يكون حاصل ضرب المنحدرات صفرًا أيضًا. تعد الخطوط العمودية ومنحدراتها مثالاً آخر على الميزة التي يكون منتجها بميل من -1. هذه الخاصية مهمة لفهم قاعدة “حاصل ضرب ميل المستقيمات المتعامدة يساوي -1”.
الحالة الخاصة: عندما يكون ميل خط واحد صفرًا
عندما يكون ميل أحد الخطوط يساوي صفرًا، تصبح الخطوط موازية لبعضها البعض. في هذه الحالة، حاصل ضرب ميلهما هو -1، مما يعني أن المستقيمين ليسا متعامدين. يمكن أن يساعدك التعرف على منحدرات المنتج وفهم الحالة الخاصة عندما يكون ميل سطر واحد صفرًا في دراساتك للهندسة.
حاصل ضرب المنحدرات = -1
إذا كان ميل الخطين معاكسًا لبعضهما البعض، فلن يكون الخطان متعامدين. يمكن توضيح ذلك بمساعدة النظرية التالية.
نظرية 107: إذا كان ميل خطين متعاكسين مع بعضهما البعض، أو كان حاصل ضرب ميل كل منهما −1، فإن الخطين يكونان غير عموديين. في حالة الخطوط التي ليس لها ميل، مثل الخط المستقيم، تظل الخطوط متعامدة.
ناتج المنحدرات = -1
عندما يكون لخطين منحدرين متعاكسين، يكون حاصل ضربهما سالب 1. وهذا يعني أنه عند وضع الخطين في مستوى، ستكون نقاط تقاطعهما على مسافة 1/2 من بعضهما البعض. بمعنى آخر، الخطوط عمودية.
الخطوط العمودية ومنحدراتها
عند رسم الرسم البياني لخط ما، نحتاج فقط إلى نقطتين، ثم استخدام الخطوط الرأسية يقال إن ميلها “غير محدد المنحدر”. الخط العمودي على خط آخر له ميل 1. إذا كان ميل المعادلة الأولى هو 4، فإن ميل المعادلة الثانية هو -4. عندما يكون خطان متعامدين ولا يوازي أي منهما المحور، يكون ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر. بعبارة أخرى، عندما تكون الخطوط متعامدة، يكون ميل أحد الخطين هو سالب مقلوب ميل الآخر. أخيرًا، إذا كان الخطان متعامدين، فإن الميلان يكونان سالبين مقلوبين.
نتيجة ضرب خطين متعامدين
إذا كان ميل الخطين متقابلين، فإن الخطين ليسا متعامدين. بمعنى آخر، عندما يكون حاصل ضرب ميل سطرين هو 1، فإن الخطوط ليست في خط مستقيم. هذا أمر شائع عندما تكون دالتان خطيتان متعامدتان مع بعضهما البعض. القاعدة التي تنص على أنه إذا كان خطان في R2 متعامدين، فإن حاصل ضرب منحدراتهما يكون −1 فقط إذا لم يكن أي من الخطين عموديًا. لن يتم النظر في الخطوط الرأسية لأن منحدراتها لا تساوي 1. تذكر أنك تأخذ المقلوب وهو -1/7 ثم تحصل على ميل الخط.
خاصية الخطوط المتعامدة
حاصل ضرب ميل خطين هو 1 إذا كان المستقيمان متعامدين. هذه قاعدة شائعة جدًا يجب تذكرها، ويمكن أن تكون مفيدة في بعض المواقف. على سبيل المثال، إذا كان لديك خطان غير متعامدين، فإن حاصل ضرب ميلهما سيكون −1. هذا يعني أن المستقيمين ليسا متعامدين، وستحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى لحل المسألة.
ناتج المنحدرات = -1
الخطوط المتوازية ومنحدراتها
عندما تضرب سطرين متوازيين لبعضهما البعض، ستكون النتيجة دائمًا 0. هذا لأن ميل الخط يساوي دائمًا تقاطع y، والذي سيكون في هذه الحالة 0. بمعنى آخر، إذا كانت x هو إحداثي نقطة على خط واحد، و y هو إحداثي نقطة على السطر الثاني، ثم ميل الخط الأول يساوي y − x.
كافيات لهذا العقار
في القسم السابق، تعلمنا أن حاصل ضرب ميل خطين هو -1. هذا يعني أن الخطين ليسا متعامدين ولا يمكن رسمهما بدون استخدام خط مرسوم. قد يكون هذا محيرًا، لذلك دعونا نحاول تبسيط الموقف من خلال دراسة بعض الأمثلة.
إذا كان ميل خط واحد يساوي صفرًا، فإن حاصل ضرب المنحدرين يساوي صفرًا أيضًا. في هذه الحالة، يُطلق على الخطين اسم عمودي لأن ميلهما معاكسين لبعضهما البعض.
إذا لم يكن ميل أحد الخطوط صفرًا، ولكنه سالب بدلاً من ذلك، فسيكون حاصل ضرب المنحدرين سالبًا. في هذه الحالة، لا يزال يطلق على الخطوط اسم عمودي، ولكن يمكن تغيير اتجاهها اعتمادًا على الميل الأكبر. على سبيل المثال، إذا كان ميل الخط A سالبًا وكان ميل الخط B موجبًا، فسيشير الخط A إلى الأسفل ويشير الخط B إلى الأعلى.
تذكر أن الخطين متعامدين إذا كان ميلهما متساويًا وكان لهما تقاطع y مختلف. أخيرًا، تذكر أن حاصل ضرب ميلين يساوي دائمًا -1.
الخلاصة: ملخص القاعدة
في سياق الخطوط المتعامدة، يكون حاصل ضرب ميل سطرين هو 1 إذا وفقط إذا كانت الخطوط غير متعامدة. غالبًا ما يشار إلى هذه القاعدة بقاعدة الخطوط العمودية. إنها حالة خاصة لقاعدة أكثر عمومية تنص على أن ميل خطين معاكسين لبعضهما البعض. بمعنى آخر، عندما يكون حاصل ضرب ميل مستقيمين −1، فإن الخطين لا يكونان متعامدين. تنص النظرية أيضًا على أنه عندما يكون المستقيمان متعامدين، فإن ميل كل منهما يكون متقابلًا. أخيرًا، تنطبق هذه الخاصية أيضًا على الخطوط التي ليست في نفس المستوى.
