هل تجد نفسك في أحلام اليقظة حول ألغاز الأعداد الأولية؟ هل أنت مفتون بأنماط الأرقام والتسلسلات التي يتكون منها كوننا؟ إذا كان الأمر كذلك، فإن منشور المدونة هذا يناسبك! انضم إلينا بينما نغوص في عالم رائع من الأعداد الأولية ونستكشف آثارها على الرياضيات والعلوم وغير ذلك.
ما هي الأعداد الأولية؟
الأعداد الأولية هي أرقام خاصة، أكبر من 1، لها عاملين بالضبط، هي نفسها و 1. تتضمن بعض أشهر الأعداد الأولية 19، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97.
على الرغم من أن 1 لا يعتبر عددًا أوليًا نظرًا لتحليله إلى عوامل في الأعداد 2 و 3 (1 = 2 · 2 3 · 3)، فإن جميع الأعداد الأولية الأخرى هي أعداد أولية. هذا يعني أنها فريدة ولا يمكن تقسيمها على أي رقم آخر بدون الباقي.
بالإضافة إلى كونها مفيدة في الرياضيات والتشفير، فإن الأعداد الأولية مهمة أيضًا في العالم الحقيقي. على سبيل المثال، 19 هو أصغر عدد أولي أكبر من 5. لذلك، فهو رقم طبيعي يمكن استخدامه في أعداد مركبة (رقم صحيح يمكن كتابته كمنتج لعددين أصغر)، مثل 24.
تعد الأعداد الأولية موضوعات رائعة من المؤكد أنها ستثير إعجاب أي شخص مهتم بالأرقام والرياضيات. شكرا للقراءة!
لماذا 1 لا يعتبر رقمًا أوليًا؟
1 ليس عددًا أوليًا لأنه لا يحتوي على قسمين موجبين بالضبط. هذا يعني أنه يمكن قسمة 1 على أي رقم غير نفسه ويظل رقمًا. على سبيل المثال، يمكن قسمة 1 على 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97. في المجموع، يمكن قسمة 1 على 20 رقمًا مختلفًا.
لذلك، 1 ليس عددًا أوليًا ولا يمكن استخدامه لإنشاء أعداد أولية.
عدد آخر ليس عددًا أوليًا هو 2. ويمكن تقسيمه على 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20. لذلك 2 ليس عددًا أوليًا أيضًا .
ما هو الرقم المركب؟
الرقم المركب هو ببساطة رقم به جزء “حقيقي” وجزء “وهمي”. يضاف الجزء التخيلي إلى الجزء الحقيقي،
على سبيل المثال، العدد المركب (3 4i) يساوي العدد الحقيقي (9 16i).
يمكن اعتبار العدد المركب عددًا أوليًا إذا كان جزأه الحقيقي والتخيلي عددًا صحيحًا، والجزء الحقيقي والخيالي عبارة عن أعداد أولية.
على سبيل المثال، الأعداد الأولية 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97 كلها عدد أولي.
ومع ذلك، 1 ليس عددًا أوليًا لأنه يحتوي على جزء وهمي (1 i).
الأعداد الأولية التي هي أيضًا أعداد غوسية هي 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89.
ولكن هناك أيضًا أعداد أولية أخرى ليست أولية غوسية. على سبيل المثال، الأعداد الأولية 2 و 4 و 6 و 8 ليست أعداد غوسية أولية.
الأعداد الأولية التي ليست أعداد غوسية تسمى الأعداد الأولية “غير الأولية” أو “الفردية”.
لا تقتصر الأعداد الأولية على مجموعة الأعداد الأولية الغاوسية. يمكن أن يكون أي عدد صحيح عددًا أوليًا إذا لم يكن يقبل القسمة على أي عدد صحيح.
على سبيل المثال، الأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 ليست أعداد غوسية أولية لكنها لا تزال أولية.
طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أن كل رقم غير صفري قابل للعكس. هذا يعني أنه يمكنك تحويل أي شيء حقيقي
الأعداد الأولية من 1 إلى 100
الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي لها مقسومان طبيعيان مختلفان تمامًا: 1 ونفسه. على سبيل المثال، يوجد 25 عددًا أوليًا بين 1 و 100. ما هو العدد الأولي؟ لماذا لا يعتبر الرقم 1 عددًا أوليًا؟ ما هو العدد المركب؟ كيف تتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا أم لا؟ هذه ليست سوى عدد قليل من الأسئلة المتعلقة بالأعداد الأولية. في هذه الفقرة، سنناقش ماهية الأعداد الأولية، ولماذا 1 ليس عددًا أوليًا، وبعض استخدامات الأعداد الأولية في العالم الحقيقي.
كيف تتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا أم لا؟
هناك عدة طرق للتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا أم لا. إحدى الطرق هي تكرار جميع الأرقام من 2 إلى الجذر التربيعي (ن) ومعرفة ما إذا كانت النتيجة 1. إذا كان الرقم ينتهي بـ 0 أو 2 أو 4 أو 5 أو 6 أو 8 فهو ليس أوليًا (باستثناء 2 و 5) . هناك طريقة أخرى وهي التحقق مما إذا كان الرقم الأكبر عددًا أوليًا أم لا عن طريق جمع كل الأرقام في رقم ومعرفة ما إذا كان المجموع قابلًا للقسمة على 3. إذا كان المجموع غير قابل للقسمة على 3، فإن الرقم هو أولي. الأعداد الأولية هي الأرقام التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها و 1، بمعنى آخر، إذا حاولنا تقسيمها على رقم آخر، فالنتيجة ليست رقمًا. أخيرًا، تعد الأعداد الأولية مهمة للتشفير لأنه يصعب تحليلها.
النظرية الأساسية في الحساب
الأعداد الأولية هي الأعداد الصحيحة التي تكون إما أولية أو حاصل ضرب الأعداد الأولية.
هناك 26 عددًا أوليًا، وهي 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97.
كل عدد أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو حاصل ضرب عددين أو أكثر.
على سبيل المثال، الرقم 12 هو حاصل ضرب عددين أوليين – 3 و 5.
حقيقة أن 1 ليس عددًا أوليًا هو أنه يمكن التعبير عنه كمجموع حاصل ضرب أي عدد من الأعداد الأولية الأخرى.
على سبيل المثال: 12 = 5 11.
ومع ذلك، هناك عدد قليل من الأعداد الفردية التي ليست مجموع عددين أوليين. تسمى هذه الأرقام أرقامًا مركبة. تتضمن الأرقام المركبة 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89 .
هناك نظرية رياضية تسمى النظرية الأساسية في الحساب والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 يمكن التعبير عنه في هذا الشكل: منتج الأعداد الأولية.
هذه النظرية مهمة للغاية لأنها تسمح لنا بفهم كيفية تحليل أي رقم مركب (وهو رقم يتضمن كلاً من العوامل الأولية وغير الأولية).
على سبيل المثال: يمكن تحليل الرقم 12 إلى عوامل (5 11) أو (3 5).
سبب آخر لأهمية الأعداد الأولية هو أنها تلعب دورًا مهمًا في التشفير. على سبيل المثال: إذا كنت تريد تشفير رسالة بمفتاح معين باستخدام خوارزمية RSA (خوارزمية شائعة لتشفير البيانات)، فأنت بحاجة إلى اختيار رقم ليس نتاج اثنين
منخل إراتوستينس
الأعداد الأولية هي الأرقام غير المميزة: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47. وهي أصغر الأعداد التي لا تقبل القسمة على أي عدد آخر رقم.
غربال إراتوستينس عبارة عن خوارزمية لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى أي حد معين. تم تطويره من قبل عالم الفلك اليوناني إراتوستينس. تنص النظرية الحسابية الأساسية على أنه إذا كان الرقم أوليًا، فلن يقسمه أي من الأعداد الأولية الأصغر. لذلك، بالتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا أم لا، يمكننا بسهولة إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى حد معين.
سبب آخر لعدم اعتبار الرقم 1 عددًا أوليًا هو أنه يمكن تقسيمه على كل عدد آخر باستثناء نفسه. على سبيل المثال، يمكن قسمة 1 على 2 (بقي واحد)، و 3 (بقي اثنان)، و 5 (بقي ثلاثة)، و 7 (بقي اثنان)، و 11 (بقي واحد)، و 13 (بقي الصفر). لذلك، 1 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن قسمة أي عدد باستثناء نفسه.
على الرغم من أن 1 ليس عددًا أوليًا، إلا أنه لا يزال موجودًا في مجموعة الأعداد الأولية لأنه يمكن تحليله إلى عوامل أصغر. على سبيل المثال، يمكن تحليل 1 إلى 2 و 3 (العوامل الأولية). وبالمثل، يمكن تحليل 5 إلى 2 و 5 (العوامل الأولية)، ويمكن تحليل 11 إلى 3 و 11 (العوامل الأولية)، وهكذا. لذلك، على الرغم من أن 1 ليس عددًا أوليًا بحكم التعريف، إلا أنه لا يزال من الممكن تضمينه في مجموعة الأعداد الأولية لأنه يمكن تحليله إلى عوامل أولية أصغر.
الأعداد الأولية والتشفير
تعد الأرقام الأولية مهمة لأن أمان العديد من خوارزميات التشفير يعتمد على حقيقة أنه من السريع جدًا مضاعفة رقمين كبيرين. على سبيل المثال، في طريقة تشفير RSA، والتي تُستخدم على نطاق واسع في تشفير البيانات للبريد الإلكتروني والملفات الرقمية الأخرى، تكون الأرقام الأولية لتحديد مفتاح التشفير كبيرة جدًا ومئات الأرقام في الطول.
تطبيق آخر للأعداد الأولية في التطبيقات الحديثة لشفرات RSA. يتطلب هذا التشفير أن تكون الأعداد الأولية لتحديد مفتاح التشفير كبيرة جدًا، بطول مئات الأرقام.
الأعداد الأولية مهمة أيضًا من منظور العالم الحقيقي. على سبيل المثال، 2 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن تحليله إلى عوامل مثل 1، 2، 2، 2، 3، 5، 7، 11. ومع ذلك، 3، 5، 7، 11 كلها أعداد أولية.
أخيرًا، المفاهيم الخاطئة حول الأعداد الأولية شائعة. على سبيل المثال، غالبًا ما يعتقد الناس أنه نظرًا لأن 2 عدد أولي، يجب أن يكون 2 ^ 2 عددًا أوليًا أيضًا. هذا ليس هو الحال – 2 ^ 2 تساوي 16. ومع ذلك، 2 ^ 3 هي 64 و 2 ^ 4 هي 128.
كما ترى، فإن الأعداد الأولية مهمة بشكل لا يصدق ولها العديد من التطبيقات في كل من العالم النظري والعملي.
الأرقام الأولية والعالم الحقيقي
الأعداد الأولية مهمة في العالم الحقيقي. يلعبون دورًا في التشفير والأدوات الآلية والمزيد. في هذه المقالة، سوف نستكشف بعض الطرق التي تُستخدم بها الأعداد الأولية في العالم الحقيقي. سنلقي نظرة أيضًا على بعض المفاهيم الخاطئة حول الأعداد الأولية.
المفاهيم الخاطئة حول الأعداد الأولية
المفاهيم الخاطئة حول الأعداد الأولية لها تأثير سلبي على تعلم مفاهيم أخرى في الرياضيات. على سبيل المثال، لم يتمكن الطلاب من تحديد جميع العوامل الأولية. يحدث هذا الاعتقاد الخاطئ لأن مفهوم الطلاب المتعلق بالأعداد الأولية لا يزال يتطور. علاوة على ذلك، لم يتمكن الطلاب من حساب LCM أو HCF بشكل صحيح لرقم عندما يعرفون عوامله الأولية. هذا يرجع إلى حقيقة أنهم لم يفهموا كيفية استخدام التحليل الأولي للرقم.
هناك اعتقاد خاطئ آخر وهو أن 1 ليس عددًا أوليًا. هذا لأن الرقم 1 هو الرقم الوحيد الذي يمكن كتابته على أنه حاصل ضرب عددين أوليين مختلفين. ومع ذلك، ليس هذا هو الحال دائمًا حيث يمكن أيضًا كتابة الرقم 1 كمجموع عددين أوليين. لذلك، 1 من الناحية الفنية عدد أولي، لكنه لا يعتبر دائمًا واحدًا.
أخيرًا، يتم استخدام الأعداد الأولية في التشفير. على سبيل المثال، إذا أردت تشفير رسالة بمفتاح معين، يمكنك البدء باختيار رقم أولي لاستخدامه كبذلك. ستكون الخطوة التالية هي مضاعفة الأصل بالرسالة التي تريد تشفيرها ثم استخدام هذا المنتج كمفتاح تشفير. هذا لأن ضرب عدد أولي في سلسلة عشوائية سينتج عنه رقم فريد.
